Multiplication and Division of Algebraic Fractions

Example 6.3.1:

a. \( \frac{x^2 \: - \: 4}{3y^2 \: + \: y} \: \times \: \frac{3y^2 \: -\: 2y \: -\: 1}{x^2 \: + \: x \: - \: 6}\)

b. \( \frac{x^2 \: - \: y^2}{(x\:+\:y)^2} \: \div \: \frac{(x\:-\:y)^2}{(3x\:+\:3y)} \)

c. \( \frac{(1 \: -\: x)^2}{x^2 \: + \: 3x \: - \: 4} \: \div \: \frac{x^2 \: -\: 8x \: + \: 7}{x^2 \: + \: 4x} \)

d. \( \frac{x^2 \: - \: 1}{(x \: + \: 2) \: + \: x(x \: + \: 2)} \: \div \: \frac{x \: - \: 1}{2x \: + \: 4} \)

Solution

a. \( \frac{x^2 \: - \: 4}{3y^2 \: + \: y} \: \times \: \frac{3y^2 \: -\: 2y \: -\: 1}{x^2 \: + \: x \: - \: 6}\)

First, factor the numerators and denominators

⇒ \( \frac{(x \: + \: 2)(x\:-\:2)}{y(3y \: + \: 1)} \: \times \: \frac{3y^2 \: -\: 3y \: + \: y \: -\: 1}{x^2 \: + \: 3x \: - \:2x \: - \: 6}\)

⇒ \( \frac{(x \: + \: 2)(x\:-\:2)}{y(3y \: + \: 1)} \: \times \: \frac{3y(y \: - \:1) \: + \: 1(y\:-\:1)}{x(x\:+\:3) \: - \: 2(x \:+\:3)}\)

⇒ \( \frac{(x \: + \: 2)(x\:-\:2)}{y(3y \: + \: 1)} \: \times \: \frac{(3y \:+\:1)(y\:-\:1)}{(x \: - \: 2)(x \:+\:3)}\)

Divide by the common factors

⇒ \( \frac{x \: + \: 2}{y} \: \times \: \frac{y\:-\:1}{x \:+\:3}\)

= \( \frac{((x \: + \: 2)(y\:-\:1)}{y(x \:+\:3)} \)

b. \( \frac{x^2 \: - \: y^2}{(x\:+\:y)^2} \: \div \: \frac{(x\:-\:y)^2}{(3x\:+\:3y)} \)

\( \frac{(x \: - \: y)(x\:+\:y)}{(x \: + \: y)(x\:+\:y)} \: \div \: \frac{(x \: - \: y)(x\:-\:y)}{3(x\:+\:y)}\)

\( \frac{(x \: - \: y)(x\:+\:y)}{(x \: + \: y)(x\:+\:y)} \: \times \: \frac{3(x\:+\:y)}{(x \: - \: y)(x\:-\:y)}\)

= \(\frac{3}{x\:-\:y}\)

c. \( \frac{(1 \: -\: x)^2}{x^2 \: + \: 3x \: - \: 4} \: \div \: \frac{x^2 \: -\: 8x \: + \: 7}{x^2 \: + \: 4x} \)

⇒ \( \frac{(1 \: -\: x)(1 \: -\: x)}{x^2 \: + \: 4x \: - \: x \: - \: \: 4} \: \div \: \frac{x^2 \: -\: 7x \: - \: x \: + \: 7}{x(x \: + \: 4)} \)

Remember that the dividing fraction must be inverted ...