Worked Examples – Integration

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Example 5.4.1:

Integrating the following expressions with respect to x .

(a) \( \scriptsize 2x^4\)
(b) \( \scriptsize 4x^{\frac{1}{2}}\)
(c) \( \scriptsize 2 \sqrt{x}\)
(d) \( \scriptsize 3x^4 – x + 2\)
(e) \( \frac{ 3x^3 + x – 4}{2x^3}\)

Solution

(a) \( \scriptsize 2x^4\)

⇒ \(\scriptsize \int 2x^4 dx \)

= \( \scriptsize 2 \int x^4 dx \)

= \( \frac{2 \left( x^{4 \:+ \: 1}\right)}{4 \:+ \: 1} \scriptsize \:+ \:C \)

= \( \frac{2 x^{5}}{5} \scriptsize \:+ \:C \)

(b) \( \scriptsize 4x^{\frac{1}{2}}\)

⇒ \(\scriptsize \int 4x^{\frac{1}{2}} dx \)

= \(\scriptsize 4 \int x^{\frac{1}{2}} dx \)

= \( \frac{4 \left( x^{\scriptsize\frac{1}{2}\large \:+ \:1}\right)}{\frac{1}{2} \:+ \: 1} \scriptsize \:+ \: C \)

= \( \frac{4 \left(x^{\scriptsize\frac{1}{2} \large\:+ \:1}\right)}{\frac{3}{2}} \scriptsize \:+ \: C \)

= \( \frac{4 \; \times \; 2 \left( x^{\scriptsize\frac{1}{2} \large \:+ \: 1}\right)}{3} \scriptsize \:+ \: C \)

= \( \frac{8 x^{\scriptsize \frac{3}{2}}}{3} \scriptsize \:+ \: C \)

(c) \( \scriptsize 2 \sqrt{x}\)

⇒ \(\scriptsize \int 2 \sqrt{x}\:dx \)

= \(\scriptsize 2 \int \sqrt{x}\: dx \)

= \(\scriptsize 2 \int \ x^{\frac{1}{2}} \:dx \)

= \( \frac{2 \left( x^{\scriptsize \frac{1}{2}\large \:+\: 1}\right)}{\frac{1}{2} \:+\: 1} \scriptsize \:+ \: C \)

= \( \frac{2 \left( x^{\scriptsize \frac{1}{2} \large \:+\: 1}\right)}{\frac{3}{2}} \scriptsize \:+ \: C \)

= \( \frac{2 \; \times \; 2 \left( x^{\frac{1}{2}\large \:+\: 1}\right) }{3} \scriptsize \:+ \: C\)

= \( \frac{4 x^{\scriptsize \frac{3}{2}}}{3} \scriptsize \:+ \: C \)

(d) \( \scriptsize 3x^4 \: – \: x + 2\)

⇒ \( \scriptsize \int \left(3x^4 \: – \: x + 2\right) \:dx \\ \scriptsize = \int 3 x^4 \:dx \: – \: \int x \:dx \:+\:\int 2 x\: dx \)

= \( \frac{3 \left( x^{4 \:+ \:1}\right)}{4\: + \:1} \:- \:\frac{\left( x^{1 \:+ \:1}\right)}{1\: + \:1} \scriptsize \:+ \:2x \:+ \:C \)

= \( \frac{3 x^5}{5} \:-\: \frac{x^2}{2} \scriptsize \:+\: 2x \:+ \: C \)

(e) \( \frac{ 3x^3 \:+\: x \;-\; 4}{2x^3}\)

⇒ \(\int \normalsize \frac{ 3x^3 \:+\: x \;- \;4}{2x^3}\scriptsize dx \\= \normalsize \int \left (\normalsize \frac{3 x^3}{2x^3} \:+\: \frac{x}{2x^3} \:-\: \frac{4}{2x^3} \right)\scriptsize dx \)

⇒ \(\int \left (\normalsize \frac{3 }{2} \:+\: \frac{x^{-2}}{2} \: -\: \scriptsize 2x^{-3} \right)\scriptsize dx \)

= \(\frac{3 }{2} \int \scriptsize dx \:+\: \normalsize \frac{1 }{2} \int \scriptsize x^{-2} dx \:-\: \scriptsize 2\int x^{-3} dx \)

= \(\frac{3 }{2} \scriptsize x \:+\: \normalsize \frac{1 }{2} \frac{ \left( x^{-2 \:+\: 1}\right)}{-2 \:+\: 1} \:-\: \scriptsize 2 \normalsize \frac{ \left( x^{-3 \:+\: 1}\right)}{-3 \:+\: 1} \scriptsize \:+ \: C\)

= \(\frac{3 }{2} \scriptsize x \: -\: \normalsize \frac{1 }{2x} \:+\: \normalsize \frac{1 }{x^{2}}\scriptsize \:+ \: C\)